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2012年3月12日(月)17:11(+0900)

円を組み合わせた軌道上を動く球体の軌跡

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現在、ホームページのトップ画像には、以下のような画像を表示しています。

1~3個の円を組み合わせた軌道上を動く球体の軌跡
1~3個の円を組み合わせた軌道上を動く球体の軌跡。

この画像は、図の説明にもあるように、1~3個の円を組み合わせた軌道上を動く球体の軌跡で、右斜め上から反時計回りに上、左、下を経て図の右側に至るまでの軌跡をあらわしています。

赤い球がある円周上を動いているのに対し、青い球は赤い球を中心とした円周上を動いており、緑の球はさらにその青い球を中心とした円周上を動いています。 赤い球、青い球は比較的シンプルな動きをしていますが、緑の球の動きはかなり複雑です。

ところで、2つの円を組み合わせた軌道上の動き(青い球の動き)は、天体の世界では「火星の逆行」を説明する「周転円」に使われています。

上の図でも、青い球は図の上と下のあたりで逆行するかしないかギリギリの動きをしています。

ところで、図の緑の球は、ちょうど青い球の「衛星」に相当する動きをしています。もしも火星に(実際のフォボスデイモスと違って)地球からも十分よく見える衛星があり、しかもその衛星と火星との関係が分かっていなかったら、古代の人々はこの「衛星」のいびつな動きに相当頭を悩ませていたかもしれません。

なお、この図では、青い球が描く円の半径と青い球が円周上を一周するのにかかる時間はそれぞれ赤い球の3分の1、緑の球ではそれぞれ赤い球の9分の1となっています。数式で書くと、以下のようになります。

赤い球 x=r・cos(wt)
y=r・sin(wt)
青い球 x=r・cos(wt) + (r/3)・cos((w/3)t)
y=r・sin(wt) + (r/3)・sin((w/3)t)
緑の球 x=r・cos(wt) + (r/3)・cos((w/3)t) + (r/9)・cos((w/9)t)
y=r・sin(wt) + (r/3)・sin((w/3)t) + (r/9)・sin((w/9)t)